对数函数的定义是什么

一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。下面是小编给大家整理的对数函数的定义简介，希望能帮到大家!

对数函数的定义

一般地，对数函数以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：

如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂(真数)为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)，即x>0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

“log”是拉丁文logarithm(对数)的.缩写，读作：[英][lɡ][美][lɡ,lɑɡ]。

函数性质

定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx(2x-1)的定义域，需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

值域：实数集R，显然对数函数无界;

定点：对数函数的函数图像恒过定点(1，0);

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数;

0<a<1时，在定义域上为单调减函数;

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

对称性：无

最值：无

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab (其中a>0,a≠1，b>0)

当0<a<1,0<b<1时，y=logab>0;

当a>1,b>1时，y=logab>0;

当0<a<1,b="">1时，y=logab<0;

当a>1,0<b<1时，y=logab<0。

对数函数的实际应用

在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零(若为负数，则值为虚数)，底数则要大于0且不为1。

对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log11也可以等于2，3，4，5，等等)】

通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm)，并且把logeN 记为In N。根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

当a>0，a≠1时，aX=N X=logaN。(N>0)

由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

在实数范围内，负数和零没有对数;

log以a为底1的对数为0(a为常数) 恒过点(1，0)。

有理和无理指数

如果 是正整数,表示等于 的 个因子的加减:

但是，如果是 不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数 (参见幂)。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数 ，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。

对数可以简化乘法运算为加法，除法为减法，幂运算为乘法，根运算为除法。所以，在发明电子计算机之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

复对数

复对数计算公式

复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。