换底公式的两种证明方法

换底公式的两种证明方法

换底公式是一个比较重要的.公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。另有两个推论。

loga(b)表示以a为底的b的对数。

换底公式一：log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均大于零且不等于1)

推导过程

若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如：log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)

则log(a)(b)=log(n^x)(n^y)

根据对数的基本公式

log(a)(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a)M

易得

log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)(n)=y/xlog(n)(n)=y/x

由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)

则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)

得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)

例子：log(a)(c)*log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a)*log(c)(a)=log(c)(c)=1

公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

证明如下：

由换底公式log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)----取以b为底的对数

log(b)(b)=1=1/log(b)(a)还可变形得:log(a)(b)×log(b)(a)=1